Sobre esse material

Esses slides foram possíveis devido a contribuições de diversas pessoas/materiais, em especial:

• Notas do prof. Marcone Jamilson Freitas Souza
• Livro Nelson Maculan e Marcia Fampa
• Livro-texto do curso
• [2] Tutorial ilectures (https://igormcoelho.github.io/ilectures-pandoc/)
• Vitor Nazário Coelho e Haroldo Gambini pelas dicas no Python-MIP e Gurobi

Fundamentos Necessários

Caso não se sintam confiantes nos tópicos abaixo, façam uma revisão antes de aprofundar neste material:

• Simplex e Programação Linear

Introdução

Diversos problemas podem ser modelados por desigualdades lineares, no formato padrão de um Problema de Programação Linear (PPL).

Considere um problema da mochila com capacidade $Q$, na qual um conjunto de itens $i \in \mathcal{I}$ pode ser selecionado, acarretando lucros $p_i \in \mathbb{Z}^+$, mas também incorrendo em pesos $w_i \in \mathbb{Z}^+$.

Problema da Mochila Fracionária

Note que, no PPL abaixo, as variáveis $x_i$ podem assumir valores fracionários:

$maximizar \; \sum_{i\in\mathcal{I}} p_i x_i$

Sujeito a:

$\begin{array}{cc} \sum_{i\in\mathcal{I}} w_i x_i \leq Q & \\ 0 \leq x_i \leq 1 & \forall i \in \mathcal{I}\\ x_i \in \mathbb{R}_{\geq 0} & \forall i \in \mathcal{I} \end{array}$

Problema da Mochila 0-1

Na prática, pode ser desejável que os itens não possam ser divididos. Em outras palavras, gostaríamos que as variáveis $x_i$ assumam valores no conjunto dos inteiros não-negativos.

$maximizar \; \sum_{i\in\mathcal{I}} p_i x_i$

Sujeito a:

$\begin{array}{cc} \sum_{i\in\mathcal{I}} w_i x_i \leq Q & \\ 0 \leq x_i \leq 1 & \forall i \in \mathcal{I}\\ x_i \in \mathbb{Z}_{\geq 0} & \forall i \in \mathcal{I} \end{array}$

Problemas Inteiros

O Simplex serve para resolver problemas fracionários, porém não resolve problemas inteiros.

Ressaltamos que o Problema de Programação Inteira ou Programação Inteira Mista (MIP) é NP-Difícil, então não é conhecido um algoritmo que resolva todo tipo de MIP em tempo polinomial.

A abordagem padrão consiste em utilizar uma estratégia de enumeração, chamada Branch&Bound, que utiliza o Simplex para efetuar podas inteligentes na árvore de ramificação.

Slides Complementares

Veja o slide complementar do prof. Marcone, para uma apresentação com exemplo do método Branch&Bound.

Implementação no Python-MIP

A biblioteca python-mip é desenvolvida por pesquisadores da Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) e pode ser utilizada para modelar e testar problemas MIP.

O resolvedor integrado Coin CBC é bastante eficiente e de código-aberto, sendo capaz de resolver problemas de pequeno e médio porte. Para problemas maiores (e mais complexos) é recomendada a instalação de solvers proprietários como CPLEX e Gurobi, integrando ao python-mip.

Para instalar o python-mip no python3: pip install mip.

Documentação online: https://python-mip.readthedocs.io/en/latest/examples.html

Python-MIP com Gurobi

É recomendável a instalação do Gurobi, para acelerar o processo de busca. Veja o link (linux, windows e mac):

• https://www.gurobi.com/documentation/quickstart.html
• https://www.gurobi.com/downloads/gurobi-optimizer (é necessário registrar!)

Para Linux com Gurobi 9.0.2: (LINK para gurobi.com)

• Baixe o arquivo gurobi9.0.2_linux64.tar.gz, e então:
  • tar xvfz gurobi9.0.2_linux64.tar.gz gurobi902/
  • sudo mv gurobi902 /opt/ (instala na pasta /opt)
• Adicione em ~/.bashrc os seguintes ambientes:

export GUROBI_HOME=/opt/gurobi902/linux64
export PATH=$GUROBI_HOME/bin:$PATH
export LD_LIBRARY_PATH=$GUROBI_HOME/lib:$LD_LIBRARY_PATH

Python-MIP com Gurobi (Licença)

Pedindo licença acadêmica (LINK para gurobi.com).

Você obterá um código tipo a13f503a-c5f6-11ea-b1bb-xxxxxxxxxxxx, então basta executar:

• source ~/.bashrc (carrega variáveis de ambiente)
• grbgetkey a13f503a-c5f6-11ea-b1bb-xxxxxxxxxxxx
• gurobi.sh (executa o gurobi)

O python-mip automaticamente usará o Gurobi se ele estiver disponível no sistema.

Python-MIP exemplo Mochila 0-1

from mip import Model, xsum, maximize, BINARY

# dados do problema
p = [10, 13, 9,  31, 7,  15]
w = [11, 15, 10, 35, 10, 33]
Q, I = 47, range(len(w))

# cria um modelo
m = Model("knapsack")
# adiciona variáveis 'x' ao modelo 'm'
x = [m.add_var(var_type=BINARY) for i in I]
# especifica a função objetivo do modelo 'm'
m.objective = maximize(xsum(p[i] * x[i] for i in I))
# adiciona restrições ao modelo 'm'
m += xsum(w[i] * x[i] for i in I) <= Q

Python-MIP exemplo Mochila 0-1

# resolve o modelo 'm'
status = m.optimize()

# Imprime a solução final obtida.
#  Note que variáveis da relaxação assumem valores
#  tipo 'float', então precisamos ter certa tolerância
#  para inferir respectivos valores inteiros '0' e '1'
selected = [i for i in I if x[i].x >= 0.99]
print("selected items: {}".format(selected))

# imprime a situação da otimização e valor objetivo
print("status =", status, " obj =", m.objective_value)
# imprime o valor para cada variável na solução
for i in I:
    print("i=", i, "->", x[i].x)

Tarefa Python-MIP com Mochila

O valor ótimo esperado é $41$, com $x=(1,0,0,1,0,0)$.

Tarefa: efetue as seguintes modificações no exemplo anterior, e verifique os valores obtidos na solução ótima:

• substitua o tipo BINARY por INTEGER nas variáveis (e faça a devida importação no python) e obtenha ótimo $42$ com $x=(2,1,1,0,0,0)$.
• substitua o tipo BINARY por CONTINUOUS nas variáveis (e faça a devida importação no python) e obtenha ótimo $42.7273$ com $x=(4.273,0,0,0,0,0)$.

Analise o significado dessas modificações, bem como os valores de solução obtidos.

Para a próxima aula

Implemente os modelos do Problema do Caminho Mínimo e Problema do Fluxo Máximo utilizando o python-mip.

Dica: observe os modelos existentes no material complementar do curso (apostila do prof. Marcone Jamilson Freitas Souza).

Lista de Exercícios

A lista de exercícios está disponibilizada no site.