Esses slides foram possíveis devido a contribuições de diversas pessoas/materiais, em especial:
Caso não se sintam confiantes nos tópicos abaixo, façam uma revisão antes de aprofundar neste material:
Diversos problemas podem ser modelados por desigualdades lineares, no formato padrão de um Problema de Programação Linear (PPL).
Considere um problema da mochila com capacidade $Q$, na qual um conjunto de itens $i \in \mathcal{I}$ pode ser selecionado, acarretando lucros $p_i \in \mathbb{Z}^+$, mas também incorrendo em pesos $w_i \in \mathbb{Z}^+$.
Note que, no PPL abaixo, as variáveis $x_i$ podem assumir valores fracionários:
\[maximizar \; \sum_{i\in\mathcal{I}} p_i x_i\]Sujeito a:
\[\begin{array}{cc} \sum_{i\in\mathcal{I}} w_i x_i \leq Q & \\ 0 \leq x_i \leq 1 & \forall i \in \mathcal{I}\\ x_i \in \mathbb{R}_{\geq 0} & \forall i \in \mathcal{I} \end{array}\]Na prática, pode ser desejável que os itens não possam ser divididos. Em outras palavras, gostaríamos que as variáveis $x_i$ assumam valores no conjunto dos inteiros não-negativos.
\[maximizar \; \sum_{i\in\mathcal{I}} p_i x_i\]Sujeito a:
\[\begin{array}{cc} \sum_{i\in\mathcal{I}} w_i x_i \leq Q & \\ 0 \leq x_i \leq 1 & \forall i \in \mathcal{I}\\ x_i \in \mathbb{Z}_{\geq 0} & \forall i \in \mathcal{I} \end{array}\]O Simplex serve para resolver problemas fracionários, porém não resolve problemas inteiros.
Ressaltamos que o Problema de Programação Inteira ou Programação Inteira Mista (MIP) é NP-Difícil, então não é conhecido um algoritmo que resolva todo tipo de MIP em tempo polinomial.
A abordagem padrão consiste em utilizar uma estratégia de enumeração, chamada Branch&Bound, que utiliza o Simplex para efetuar podas inteligentes na árvore de ramificação.
Veja o slide complementar do prof. Marcone, para uma apresentação com exemplo do método Branch&Bound.
A biblioteca python-mip é desenvolvida por pesquisadores da Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) e pode ser utilizada para modelar e testar problemas MIP.
O resolvedor integrado Coin CBC é bastante eficiente e de código-aberto, sendo capaz de resolver problemas de pequeno e médio porte.
Para problemas maiores (e mais complexos) é recomendada a instalação de solvers proprietários como CPLEX e Gurobi, integrando ao python-mip.
Para instalar o python-mip no python3: pip install mip.
Documentação online: https://python-mip.readthedocs.io/en/latest/examples.html
É recomendável a instalação do Gurobi, para acelerar o processo de busca. Veja o link (linux, windows e mac):
Para Linux com Gurobi 9.0.2: (LINK para gurobi.com)
gurobi9.0.2_linux64.tar.gz, e então:
tar xvfz gurobi9.0.2_linux64.tar.gz gurobi902/sudo mv gurobi902 /opt/ (instala na pasta /opt)~/.bashrc os seguintes ambientes:
export GUROBI_HOME=/opt/gurobi902/linux64
export PATH=$GUROBI_HOME/bin:$PATH
export LD_LIBRARY_PATH=$GUROBI_HOME/lib:$LD_LIBRARY_PATH
Pedindo licença acadêmica (LINK para gurobi.com).
Você obterá um código tipo a13f503a-c5f6-11ea-b1bb-xxxxxxxxxxxx, então basta executar:
source ~/.bashrc (carrega variáveis de ambiente)grbgetkey a13f503a-c5f6-11ea-b1bb-xxxxxxxxxxxxgurobi.sh (executa o gurobi)O python-mip automaticamente usará o Gurobi se ele estiver disponível no sistema.
from mip import Model, xsum, maximize, BINARY
# dados do problema
p = [10, 13, 9, 31, 7, 15]
w = [11, 15, 10, 35, 10, 33]
Q, I = 47, range(len(w))
# cria um modelo
m = Model("knapsack")
# adiciona variáveis 'x' ao modelo 'm'
x = [m.add_var(var_type=BINARY) for i in I]
# especifica a função objetivo do modelo 'm'
m.objective = maximize(xsum(p[i] * x[i] for i in I))
# adiciona restrições ao modelo 'm'
m += xsum(w[i] * x[i] for i in I) <= Q
# resolve o modelo 'm'
status = m.optimize()
# Imprime a solução final obtida.
# Note que variáveis da relaxação assumem valores
# tipo 'float', então precisamos ter certa tolerância
# para inferir respectivos valores inteiros '0' e '1'
selected = [i for i in I if x[i].x >= 0.99]
print("selected items: {}".format(selected))
# imprime a situação da otimização e valor objetivo
print("status =", status, " obj =", m.objective_value)
# imprime o valor para cada variável na solução
for i in I:
print("i=", i, "->", x[i].x)
O valor ótimo esperado é $41$, com $x=(1,0,0,1,0,0)$.
Tarefa: efetue as seguintes modificações no exemplo anterior, e verifique os valores obtidos na solução ótima:
BINARY por INTEGER nas variáveis (e faça a devida importação no python) e obtenha ótimo $42$ com $x=(2,1,1,0,0,0)$.BINARY por CONTINUOUS nas variáveis (e faça a devida importação no python) e obtenha ótimo $42.7273$ com $x=(4.273,0,0,0,0,0)$.Analise o significado dessas modificações, bem como os valores de solução obtidos.
Implemente os modelos do Problema do Caminho Mínimo e Problema do Fluxo Máximo utilizando o python-mip.
Dica: observe os modelos existentes no material complementar do curso (apostila do prof. Marcone Jamilson Freitas Souza).
A lista de exercícios está disponibilizada no site.