Sobre esse material

Esses slides foram preparados com base em diversos materiais da literatura, em especial:

• [1] Profa. Maristela Oliveira dos Santos (ICMC/USP): “Introdução à Pesquisa Operacional - Otimização Linear”, 2010.
• [2] Tutorial ilectures (https://igormcoelho.github.io/ilectures-pandoc/)
• Prof. Luiz Satoru Ochi (dicas)

Algumas aplicações

• indústria de petróleo: extração, refinamento, mistura e distribuição.
• indústria de alimentos: ração animal (problema da mistura).
• planejamento da produção: dimensionamento de lotes (o que, quando e quanto produzir?).
• indústria siderúrgica: ligas metálicas (problema da mistura).
• indústria de papel: otimização do processo de cortagem de bobinas.
• indústrias de móveis: otimização do processo de cortagem de placas retangulares.
• aplicações financeiras: otimização do fluxo de caixa, análise de carteiras de investimento.

Problema da mistura

• Materiais disponíveis são combinados para gerar novos produtos com características convenientes;
• Um dos primeiros problemas de otimização linear implementados com sucesso na prática.
• Abordagens:
  • Ração;
  • Ligas metálicas;
  • Composição de filtros de areia.

Problema da mistura - Ração

• Queremos saber quais as quantidades ideais de cada ingrediente para fazer uma quantidade de ração, com as necessidades nutricionais atendidas e o custo total dos ingredientes seja o menor possível.
• Temos os ingredientes e seus custos:
  • Milho ($A_1$) - $R\$ 65,00 /Kg$
  • Farinha de ossos ($A_2$) - $R\$ 30,00 /Kg$

Problema da mistura - Ração

• Para fazer uma certa quantidade de ração para, digamos, aves, é necessário uma certa quantidade nutrientes, digamos, vitamina A ($V_a$), vitamina B ($V_b$) e proteína ($V_c$).
• Os ingredientes apresentam esses nutrientes determinadas unidades (un):
  • $A_1$ - 2 un. de $V_a$, 3 un. de $V_b$ e 1 un. de $V_c$;
  • $A_2$ - 3 un. de $V_a$, 2 un. de $V_b$;

Problema da mistura - Ração

• Deseja-se prepara uma ração que contenha no mínimo 7 unidades de $V_a$, 9 unidades de $V_b$ e 1 unidade de $V_c$.
• Determinar a quantidade dos alimentos necessárias para satisfazer a necessidades da ração.

Problema da mistura - Pergunta-se

• Como misturar (as quantidades) dos ingredientes para produzir a ração de menor custo possível?
• A mistura atende as necessidades de nutrientes?

Problema da mistura - O que decidir?

• Quantidades dos ingredientes presentes na mistura?
• Decisões: Denominadas Variáveis de decisão.
• Definindo:
• $x_1$ = quantidade de ingrediente do tipo 1 presente na mistura (u.m).
• $x_2$ = quantidade de ingrediente do tipo 2 presente na mistura (u.m)

Problema da mistura - Decidir para que?

• função custo ($z$)
• O custo mínimo seria nulo se não fosse as quantidades mínimas de nutrientes a serem atendidas (Vitamina A, Vitamina B e Proteína). OBS.: os custos são positivos.
• Objetivo: minimizar o custo total da mistura.
• Custo total é dado por uma função objetivo.
• $z(x_1 , x_2 ) = 65x_1 + 30x_2$.
• Devemos determinar $x_1$ e $x_2$ tal que $z(x_1 , x_2)$ seja o menor possível. $\min z(x_1 , x_2 ) = 65x_1 + 30x_2$

Modelagem do Exemplo 1

• Considere que as composições de vitamina A, vitamina B e proteína na ração sejam satisfeitas.
• Modelo Matemático:

$\min z(x_1 , x_2 ) = 65x_1 + 30x_2$ $2x_1 + 3x_2 \geq 7$ $3x_1 + 2x_2 \geq 9$ $1x_1 + 0x_2 \geq 1$ $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$

Visualização do Modelo

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Problema da mistura - Ração

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Problema da mistura - Ração

Problema da mistura - Ração

Outras aplicações

• Ligas metálicas são produzidas a partir de vários insumos (lingotes de ferro, grafite, sucatas industriais, entre outros).
• Cada insumo tem uma composição (quantidades de carbono, silício, manganês etc) e custo conhecidos.
• A composição da liga é determinada por normas técnicas da metalurgia (quantidades de carbono, silício, manganês etc).
• Deseja-se determinar as quantidades de cada insumo a serem fundidas, satisfazendo as normas técnicas da metalurgia com o menor preço final possível.

OUTRAS APLICAÇÕES - Composição de areias para filtro

• Areias são usadas na constituição de filtros de Estações de Tratamento de Águas de abastecimento;
• Diferentes tipos de areias com composições granulométricas distintas estão disponíveis em vários locais;
• Custos de dragagem, transporte, seleção e preparo para utilização de cada areia variam;
• Areias devem ser dispostas em camadas que devem obedecer composições granulométricas estabelecidas por norma;
• O problema consiste em combinar os volumes de areia provenientes de cada local de modo a atender às especificações da norma, com o menor custo possível.

Exemplo 2 - Barragem de concreto

• Na implantação de uma barragem de grande consumo de concreto, decidiu-se utilizar como fontes de agregados graúdos: Britas graníticas, seixos rolados e pedra britada comercial.
• Os custos e as composições granulométricas de cada agregado e a composição granulométrica ideal são dados no gráfico a seguir.

Dados do problema da barragem de concreto

Variáveis de decisão:
$x_1$ = qde de britas graníticas ($m^3$);
$x_2$ = qde de seixos rolados ($m^3$);
$x_3$ = qde de pedras britadas comercial ($m^3$).

Modelagem do exemplo do problema da barragem de concreto

$\min z(x 1 , x 2 , x 3 ) = 6x 1 + 7x 2 + 18x 3$

$x1 \geq 0, x2 \geq 0, x3 \geq 0$

O Problema de Produção

• Função objetivo – maximizar a margem de contribuição dos produtos;
• Primeiro conjunto de restrições – fabricação dos produtos deve levar em conta a capacidade limitada dos recursos;
• Segundo conjunto de restrições – quantidade de produtos produzida não deve ser inferior à mínima e nem superior à máxima preestabelecida.

Exemplo 1 - Problema de Produção

• Uma padaria produz dois tipos de produtos: pão ($P_1$) e massa de pizza ($P_2$).
• Quatro diferentes matérias primas são utilizadas para a fabricação destes produto: farinha ($M_1$), fermento ($M_2$), ovos ($M_3$) e manteiga ($M_4$), em que temos em estoque, respectivamente, 60 unidades, 38 unidades, 18 unidades e 55 unidades.
• Para produzir 1 kg de pão são necessárias 1 un. de farinha, 2 un. de fermento e 3 un. de manteiga.
• Para produzir 1 kg de massa de pizza são necessárias 3 un. de farinha, 1 un. de ovo e 1 un. de manteiga.

Exemplo 1 - Problema de Produção

• O pão e massa de pizza são vendidos ao custo de $R\$ 22/Kg$ e $R\$20/Kg$.
• Deseja-se determinar a quantidade de cada produto a ser fabricada que maximize as vendas e respeite as restições de estoque.

Exemplo 1 - Problema de Produção

• O que devemos decidir?
• Decisões: Denominadas Variáveis de decisão.
• Definindo:
• $x_1$ =quantidade produzida de pão em kilos.
• $x_2$ =quantidade produzida de pizza em kilos.

Modelagem do Exemplo 1 - Problema de Produção

Modelo Matemático:

$\max z(x_1 , x_2 ) = 22x_1 + 20x_2$

$1 x1 + 3 x2 \leq 60$ $2 x1 + 0 x2 \leq 30$ $0 x1 + 1 x2 \leq 18$ $3 x1 + 1 x2 \leq 55$

$x1 \geq 0, x2 \geq 0$

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Exemplo 1 - Problema de Produção

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Exemplo 1 - Problema de Produção

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Exemplo 2 - Produção de geladeiras

• Empresa precisa decidir quais modelos de geladeira instalar em sua nova planta;
• Dois possíveis modelos: luxo e básico.
• No máximo, 1500 unidades do modelo luxo e 6000 unidades do modelo básico podem ser vendidas por mês.
• Empresa contratou 25000 homens-hora de trabalho por mês;
• Os modelos luxos precisam de 10 homens-hora de trabalho para serem produzidos e os modelos básicos, 8 homens-hora.
• A capacidade da linha de montagem é de 4500 geladeiras por mês, pois as geladeiras dividem a mesma linha;
• O lucro unitário do modelo luxo é $\$100,00$ por mês, enquanto o modelo básico lucra $\$50,00$ durante o mesmo período.

Exemplo 1 - Produção de geladeiras

• Objetivo: determinar quanto produzir de cada geladeira, de modo a satisfazer todas as restrições e maximizar o lucro da empresa.

Variáveis de decisão:

$x_1$ = quantidade de geladeiras do modelo luxo a ser produzida por mês.
$x_2$ = quantidade de geladeiras do modelo básico a ser produzida por mês.

Modelo Matemático

Modelo Matemático:

$\max z(x_1 , x_2 ) = 100x_1 + 50x_2$

$10x 1 + 8x 2 \leq 25000$ $x 1 + x 2 \leq 4500$ $0 \leq x 1 \leq 1500$ $0 \leq x 2 \leq 6000$

Visualização do Modelo

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Exemplo 1 - Problema de Produção

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Exemplo 1 - Problema de Produção

Exemplo 1 - Problema de Produção

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Dica para Cálculo do Gradiente

Lembramos que a direção e sentido de máximo crescimento de uma função $f$ é determinada por seu gradiente $\nabla f(x) = \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \frac{\partial f(x)}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f(x)}{\partial x_n} \right)$.

Assim, para $\max z(x_1 , x_2 ) = 100x_1 + 50x_2$, temos $\nabla z(x)=(100,50)$. Caso fosse minimização, poderíamos transformar o problema em maximização (e obter valores negativos no vetor gradiente).

Naturalmente, o feixe de retas da função objetivo é perpendicular ao vetor gradiente.

Visualização Gráfica com Plotly

O que significam as três linhas vermelhas?

Lista de Exercícios

A lista de exercícios está disponibilizada no site.