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Modelagem em Pesquisa Operacional

Sobre esse material

Esses slides foram preparados com base em diversos materiais da literatura, em especial:

[1] Profa. Maristela Oliveira dos Santos (ICMC/USP): “Introdução à Pesquisa Operacional - Otimização Linear”, 2010.
[2] Tutorial ilectures (https://igormcoelho.github.io/ilectures-pandoc/)
Prof. Luiz Satoru Ochi (dicas)

Aplicações de PO

Algumas aplicações

indústria de petróleo: extração, refinamento, mistura e distribuição.
indústria de alimentos: ração animal (problema da mistura).
planejamento da produção: dimensionamento de lotes (o que, quando e quanto produzir?).
indústria siderúrgica: ligas metálicas (problema da mistura).
indústria de papel: otimização do processo de cortagem de bobinas.
indústrias de móveis: otimização do processo de cortagem de placas retangulares.
aplicações financeiras: otimização do fluxo de caixa, análise de carteiras de investimento.

O problema da mistura

Problema da mistura

Materiais disponíveis são combinados para gerar novos produtos com características convenientes;
Um dos primeiros problemas de otimização linear implementados com sucesso na prática.
Abordagens:
- Ração;
- Ligas metálicas;
- Composição de filtros de areia.

Problema da mistura - Ração

Queremos saber quais as quantidades ideais de cada ingrediente para fazer uma quantidade de ração, com as necessidades nutricionais atendidas e o custo total dos ingredientes seja o menor possível.
Temos os ingredientes e seus custos:
- Milho ($A_1$) - $R$ 65,00 /Kg$
- Farinha de ossos ($A_2$) - $R$ 30,00 /Kg$

Problema da mistura - Ração

Para fazer uma certa quantidade de ração para, digamos, aves, é necessário uma certa quantidade nutrientes, digamos, vitamina A ($V_a$), vitamina B ($V_b$) e proteína ($V_c$).
Os ingredientes apresentam esses nutrientes determinadas unidades (un):
- $A_1$ - 2 un. de $V_a$, 3 un. de $V_b$ e 1 un. de $V_c$;
- $A_2$ - 3 un. de $V_a$, 2 un. de $V_b$;

Problema da mistura - Ração

Deseja-se prepara uma ração que contenha no mínimo 7 unidades de $V_a$, 9 unidades de $V_b$ e 1 unidade de $V_c$.
Determinar a quantidade dos alimentos necessárias para satisfazer a necessidades da ração.


Nutrientes	Ingredientes		Qtde
	A1	A2	Mínima
Vitamina A	2	2	7
Vitamina B	3	2	9
Proteína	1	0	1
Custos ($R$/kg$)	65	30	$\;$

Problema da mistura - Pergunta-se

Como misturar (as quantidades) dos ingredientes para produzir a ração de menor custo possível?
A mistura atende as necessidades de nutrientes?

Problema da mistura - O que decidir?

Quantidades dos ingredientes presentes na mistura?
Decisões: Denominadas Variáveis de decisão.
Definindo:
$x_1$ = quantidade de ingrediente do tipo 1 presente na mistura (u.m).
$x_2$ = quantidade de ingrediente do tipo 2 presente na mistura (u.m)

Problema da mistura - Decidir para que?

função custo ($z$)
O custo mínimo seria nulo se não fosse as quantidades mínimas de nutrientes a serem atendidas (Vitamina A, Vitamina B e Proteína). OBS.: os custos são positivos.
Objetivo: minimizar o custo total da mistura.
Custo total é dado por uma função objetivo.
$z(x_1 , x_2 ) = 65x_1 + 30x_2$.
Devemos determinar $x_1$ e $x_2$ tal que $z(x_1 , x_2)$ seja o menor possível. $\min z(x_1 , x_2 ) = 65x_1 + 30x_2$

Modelagem do Exemplo 1

Considere que as composições de vitamina A, vitamina B e proteína na ração sejam satisfeitas.
Modelo Matemático:

$\min z(x_1 , x_2 ) = 65x_1 + 30x_2$ $2x_1 + 3x_2 \geq 7$ $3x_1 + 2x_2 \geq 9$ $1x_1 + 0x_2 \geq 1$ $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$

Visualização do Modelo

Próximas Imagens de [1]

Problema da mistura - Ração

Outras aplicações

Ligas metálicas são produzidas a partir de vários insumos (lingotes de ferro, grafite, sucatas industriais, entre outros).
Cada insumo tem uma composição (quantidades de carbono, silício, manganês etc) e custo conhecidos.
A composição da liga é determinada por normas técnicas da metalurgia (quantidades de carbono, silício, manganês etc).
Deseja-se determinar as quantidades de cada insumo a serem fundidas, satisfazendo as normas técnicas da metalurgia com o menor preço final possível.

OUTRAS APLICAÇÕES - Composição de areias para filtro

Areias são usadas na constituição de filtros de Estações de Tratamento de Águas de abastecimento;
Diferentes tipos de areias com composições granulométricas distintas estão disponíveis em vários locais;
Custos de dragagem, transporte, seleção e preparo para utilização de cada areia variam;
Areias devem ser dispostas em camadas que devem obedecer composições granulométricas estabelecidas por norma;
O problema consiste em combinar os volumes de areia provenientes de cada local de modo a atender às especificações da norma, com o menor custo possível.

Exemplo 2 - Barragem de concreto

Na implantação de uma barragem de grande consumo de concreto, decidiu-se utilizar como fontes de agregados graúdos: Britas graníticas, seixos rolados e pedra britada comercial.
Os custos e as composições granulométricas de cada agregado e a composição granulométrica ideal são dados no gráfico a seguir.

Dados do problema da barragem de concreto


Faixas gran.	Agregados Graúdos			Comp. Ideal(%)
^	Britas	Seixos	Pedras	^
2,4-19	0	0,05	0,20	0,10
19-38	0,10	0,35	0,78	0,20
38-76	0,20	0,60	0,02	0,35
76-152	0,70	0	0	0,35
Custos	$R$6$	$R$7$	$R$18$	$\;$

Variáveis de decisão:
$x_1$ = qde de britas graníticas ($m^3$);
$x_2$ = qde de seixos rolados ($m^3$);
$x_3$ = qde de pedras britadas comercial ($m^3$).

Modelagem do exemplo do problema da barragem de concreto

\[\min z(x 1 , x 2 , x 3 ) = 6x 1 + 7x 2 + 18x 3\]


	0,05x2	+ 0,20x3	$\geq$	0,10
0,10x1	+ 0,35x2	+ 0,78x3	$\geq$	0,20
0,20x1	+ 0,60x2	+ 0,02x3	$\geq$	0,35
0,70x1			$\geq$	0,35
x1	+ x2	+ x3	$=$	1

\[x1 \geq 0, x2 \geq 0, x3 \geq 0\]

O PROBLEMA DE PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO

O Problema de Produção

Função objetivo – maximizar a margem de contribuição dos produtos;
Primeiro conjunto de restrições – fabricação dos produtos deve levar em conta a capacidade limitada dos recursos;
Segundo conjunto de restrições – quantidade de produtos produzida não deve ser inferior à mínima e nem superior à máxima preestabelecida.

Exemplo 1 - Problema de Produção

Uma padaria produz dois tipos de produtos: pão ($P_1$) e massa de pizza ($P_2$).
Quatro diferentes matérias primas são utilizadas para a fabricação destes produto: farinha ($M_1$), fermento ($M_2$), ovos ($M_3$) e manteiga ($M_4$), em que temos em estoque, respectivamente, 60 unidades, 38 unidades, 18 unidades e 55 unidades.
Para produzir 1 kg de pão são necessárias 1 un. de farinha, 2 un. de fermento e 3 un. de manteiga.
Para produzir 1 kg de massa de pizza são necessárias 3 un. de farinha, 1 un. de ovo e 1 un. de manteiga.

Exemplo 1 - Problema de Produção

O pão e massa de pizza são vendidos ao custo de $R$ 22/Kg$ e $R$20/Kg$.
Deseja-se determinar a quantidade de cada produto a ser fabricada que maximize as vendas e respeite as restições de estoque.


Matéria Prima	Produto		Estoque
^	P1	P2	^
Farinha	1	3	60
Fermento	2	0	30
Ovos	0	1	18
Manteiga	3	1	55
Custos ($R$/kg$)	22	20	$\;$

Exemplo 1 - Problema de Produção

O que devemos decidir?
Decisões: Denominadas Variáveis de decisão.
Definindo:
$x_1$ =quantidade produzida de pão em kilos.
$x_2$ =quantidade produzida de pizza em kilos.

Modelagem do Exemplo 1 - Problema de Produção

Modelo Matemático:

\[\max z(x_1 , x_2 ) = 22x_1 + 20x_2\]

$1 x1 + 3 x2 \leq 60$ $2 x1 + 0 x2 \leq 30$ $0 x1 + 1 x2 \leq 18$ $3 x1 + 1 x2 \leq 55$

\[x1 \geq 0, x2 \geq 0\]

Visualização do Modelo

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Exemplo 1 - Problema de Produção

Exemplo 2 - Produção de geladeiras

Empresa precisa decidir quais modelos de geladeira instalar em sua nova planta;
Dois possíveis modelos: luxo e básico.
No máximo, 1500 unidades do modelo luxo e 6000 unidades do modelo básico podem ser vendidas por mês.
Empresa contratou 25000 homens-hora de trabalho por mês;
Os modelos luxos precisam de 10 homens-hora de trabalho para serem produzidos e os modelos básicos, 8 homens-hora.
A capacidade da linha de montagem é de 4500 geladeiras por mês, pois as geladeiras dividem a mesma linha;
O lucro unitário do modelo luxo é $$100,00$ por mês, enquanto o modelo básico lucra $$50,00$ durante o mesmo período.

Exemplo 1 - Produção de geladeiras

Objetivo: determinar quanto produzir de cada geladeira, de modo a satisfazer todas as restrições e maximizar o lucro da empresa.

Variáveis de decisão:

$x_1$ = quantidade de geladeiras do modelo luxo a ser produzida por mês.
$x_2$ = quantidade de geladeiras do modelo básico a ser produzida por mês.

Modelo Matemático

Modelo Matemático:

\[\max z(x_1 , x_2 ) = 100x_1 + 50x_2\]

$10x 1 + 8x 2 \leq 25000$ $x 1 + x 2 \leq 4500$ $0 \leq x 1 \leq 1500$ $0 \leq x 2 \leq 6000$

Visualização do Modelo

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Exemplo 1 - Problema de Produção

Dica para Cálculo do Gradiente

Lembramos que a direção e sentido de máximo crescimento de uma função $f$ é determinada por seu gradiente $\nabla f(x) = \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \frac{\partial f(x)}{\partial x_2}, …, \frac{\partial f(x)}{\partial x_n} \right)$.

Assim, para $\max z(x_1 , x_2 ) = 100x_1 + 50x_2$, temos $\nabla z(x)=(100,50)$. Caso fosse minimização, poderíamos transformar o problema em maximização (e obter valores negativos no vetor gradiente).

Naturalmente, o feixe de retas da função objetivo é perpendicular ao vetor gradiente.

Visualização Gráfica com Plotly

O que significam as três linhas vermelhas?

```python {cmd=true hide=true} from figs.fig_plotly_line1 import draw_fig fig = draw_fig(‘figs/fig_plotly_model3.png’)

<!-- @import "figs/fig_plotly_model3.png" -->

<!-- END COMMENT -->

<!-- BEGIN COMMENT TO revealjs -->
```{.plotly_python caption="Visualização Gráfica" width=350}
from figs.fig_plotly_line1 import draw_fig
fig = draw_fig('figs/fig_plotly_model3.png')
# nocache 8

Lista de Exercícios

A lista de exercícios está disponibilizada no site.

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