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Árvores de Busca

Pré-Requisitos

São requisitos para essa aula:

Introdução/Fundamentos de Programação (em alguma linguagem de programação)
Interesse em aprender C/C++
Noções de recursividade
Noções de tipos de dados
Noções de listas e encadeamento
Aula de Árvores

Agradecimentos especiais ao prof. Fabiano Oliveira e prof. Fábio Protti, cujo conteúdo didático forma a base desses slides

Árvores de Busca

Problema de Busca

Consideramos o Problema da Busca em que, dados:

Conjunto de chaves $S = {s_1, …, s_i, …, s_n}$, $s_1 < … < s_n$
Dado $x$ (do mesmo tipo dos elementos de $S$)

Responda: $x$ pertence a $S$?

Em caso positivo, encontrar $s_i$ tal que $s_i = x$.

Desafio: Como organizar os dados de forma a facilitar a operação de busca?

Árvore Binária de Busca: Definição

Podemos utilizar uma Árvore Binária rotulada $T$, tal que:

$T$ possui $N$ nós. Cada nó $v$ corresponde a uma chave distinta $s_i \in S$ e possui como rótulo o valor $r(v)=s_i$
Sejam $v$, $v_1$, $v_2$ nós distintos de $T$, sendo $v_1$ pertencente à subárvore esquerda de $v$, e $v_2$ à subárvore direita de $v$, tais que: $r(v_1) < r(v)$ e $r(v_2) > r(v)$

Relação entre nós numa Árvore Binária de Busca {width=30%}

$T$ é uma Árvore Binária de Busca (ABB)

Árvore Binária de Busca: Exemplo

Exemplos de ABB, contendo nós D, E, F, L, M, N e O.

::::::::::{.columns}

:::::{.column width=45%}

Árvore $A2$ com três folhas {height=40%}

:::::

:::::{.column width=50%}

Árvore $A3$ com cinco folhas {height=40%}

:::::

::::::::::

Estrutura de Árvore Binária

Relembrando (aula de Árvores) a estrutura de árvore binária considerada:

struct NoEnc3 {
   char chave;     // dado armazenado
   NoEnc3* esq;    // filho esquerdo
   NoEnc3* dir;    // filho direito
};

struct ArvoreEnc3 {
  NoEnc3* raiz;    // raiz da árvore
};

Problema da Busca com uma ABB

Podemos resolver o Problema da Busca, com chave de busca $c$, através de uma ABB.

Ideia Geral:

Parta do nó raiz $v$
Verifique se a chave de $v$ é $c$, ou seja, v->chave == c
Em caso positivo, o algoritmo termina (chave encontrada)
Caso contrário, verifique se:
- c < v->chave: refaça o algoritmo na subárvore esquerda
- c > v->chave: refaça o algoritmo na subárvore direita
Caso o nó $v$ não exista, a busca termina.

Árvore $A3$ com cinco folhas {height=30%}

Tarefa

Avalie se as árvores abaixo são árvores binárias de busca:

::::::::::{.columns}

:::::{.column width=45%}

Árvore $A1$ com três folhas {height=40%}

:::::

:::::{.column width=50%}

Árvore $A4$ com cinco folhas {height=40%}

:::::

::::::::::

. . .

Solução: nenhuma delas é! Erros: $B < A$ (na A1); $H > K$ (na A4).

Implementação: `buscaABB`

Implementação da busca em árvores binárias de busca:

auto* buscaABB(auto* no, char c) {
    if(!no) return no;             // chave não encontrada
    if(no->chave == c) return no;  // chave encontrada
    if(c < no->chave)
        return buscaABB(no->esq, c);  // recursão esquerda
    else
        return buscaABB(no->dir, c);  // recursão direita
}

Pergunta: Quantos chamadas recursivas esse algoritmo pode precisar?

. . .

Resposta: Em uma árvore degenerada com $N$ nós, até $N$ passos (observe que, nesse caso, $N$ também é a altura da árvore)

Exercício

Encontre o pior caso (pior chave de busca) para a execução do algoritmo buscaABB nas quatro árvores abaixo (avalie primeiro se são ou não árvores binárias de busca):

::::::::::{.columns}

:::::{.column width=70%}

{width=90%}

:::::

:::::{.column width=30%}

Árvore $A3$ com cinco folhas {height=40%}

:::::

::::::::::

. . .

Solução: 1. N/A, 2. N/A, 3. D, 4. N/A, Fig.7 L

Árvore Binária de Busca Ótima

Como a buscaABB depende a altura da árvore, qual o melhor caso possível para a busca (menor altura possível) em uma árvore binária com $N$ nós?

Relembrando: uma árvore binária completa (ou cheia/perfeita) possui $\lceil \log_2 (N+1) \rceil$ níveis.

::::::::::{.columns}

:::::{.column width=70%}

{width=80%}

:::::

:::::{.column width=30%}

Árvore $A3$ {height=40%}

:::::

::::::::::

. . .

Solução: 1. N/A, 2. N/A, 3. Falso, 4. $N=7$ e $\log_2 8 = 3$ (Fig.7 tem $\log_2 9 = 4$)

Operações Básicas em ABB (Exercícios Práticos)

Exercício: Encontre o menor elemento uma ABB

Dado um nó do tipo NoEnc5, calcule o menor elemento da árvore, com método:

NoEnc5* minimo(NoEnc5* const no) { ... }

::::::::
:::::	{30%}

struct NoEnc5 {
   char chave; 
   NoEnc5* esq; 
   NoEnc5* dir;
   NoEnc5* pai; 
};

:::::

. . .

:::::

{55%}

NoEnc5* minimo(NoEnc5* const no) 
// pre(no)               // C++26
// post(out : !out->esq) // C++26
{
  auto* atual = no;
  while(atual->esq) atual = atual->esq;
  return atual;
};

::::: ::::::::

Exercício: Encontre o sucessor de um elemento numa ABB

Dado um nó do tipo NoEnc5, calcule o elemento sucessor na árvore, com método:

NoEnc5* sucessor(NoEnc5* const no) { ... }

::::::::
:::::	{30%}

struct NoEnc5 {
   char chave; 
   NoEnc5* esq; 
   NoEnc5* dir;
   NoEnc5* pai; 
};

:::::

. . .

:::::

{55%}

NoEnc5* sucessor(NoEnc5* const no)   
// pre(no)  // C++26
// post(out : implica(no->dir, !out->esq)) 
{
    if(no->dir) return minimo(no->dir);
    auto* atual = no;
    auto* suc = atual->pai;
    while(suc && eh_filho_direito(atual)) {
        atual = suc;
        suc = atual->pai;
    }
    return suc;
}

::::: ::::::::

Exercício: Adicione novo elemento na árvore ou atualize seu valor

Dado um nó do tipo NoEnc6, com chave char e dado complementar float, implemente a operação upsert: um update, caso chave exista, ou um insert, caso chave não exista:

void upsertABB(char c, float v, NoEnc6* no) { ... }

::: - :::::::: || ::::: |{15%}

struct NoEnc6 {
   char chave;
   float dado;
   NoEnc6* esq;
   NoEnc6* dir;
   NoEnc6* pai;
};

:::::

. . .

:::::

{70%}

void upsertABB(char c, float v, NoEnc6* no) {       // pre(no)
  if (c == no->chave) { no->dado = v; return; }
  if (c < no->chave) {
   if (no->esq) upsertABB(c, v, no->esq);
   else no->esq = 
            new NoEnc6{.chave=c,.dado=v,.esq=0,.dir=0,.pai=no};
  } else {
   if (no->dir) upsertABB(c, v, no->dir);
   else no->dir = 
            new NoEnc6{.chave=c,.dado=v,.esq=0,.dir=0,.pai=no};
  }
}

::::: :::::::: :::

Implementação de Árvore Binária de Busca

Estrutura de Árvore Binária de Busca com Pai

Relembrando (aula de Árvores) a estrutura de árvore binária com pai considerada:

struct NoEnc5 {
   char chave;     // dado armazenado
   NoEnc5* esq;    // filho esquerdo
   NoEnc5* dir;    // filho direito
   NoEnc5* pai;    // pai
};

struct ABB {
  NoEnc5* raiz;    // raiz da árvore
  int N;           // número de nós
  ...              // métodos típicos: busca, insere, remove, ...
};

Implementação: `insereABB`

Implementação de inserção em árvore binária de busca não-vazia:

void insereABB(char c, NoEnc5* no) 
// pre(no)   // C++26
{
  if(c <= no->chave) {
      if(no->esq) insereABB(c, no->esq);
      else no->esq = new NoEnc5{.chave=c, .esq=0, .dir=0, .pai=no};
  } 
  else {
      if(no->dir) insereABB(c, no->dir);
      else no->dir = new NoEnc5{.chave=c, .esq=0, .dir=0, .pai=no}; 
  }
}

Pergunta: Quantos chamadas recursivas esse algoritmo pode precisar? R: O(N).

Implementação: `removeABB`

Implementação de remoção em árvore binária de busca (retorna nova raiz):

::: -

auto removeABB(char c, auto* raiz) {
  if(!raiz) return std::tuple{false, raiz};
  auto* no = ::buscaABB(raiz, c);    if(!no)   return std::tuple{false, raiz};
  if(tem_dois_filhos(no)) {
    auto* removido = sucessor(no);
    extrai(removido);                // 'removido' não tem filho esquerdo
    no->chave = removido->chave;
    delete removido;
    return std::tuple{true, raiz};
  } else {
    auto [pai, filho]  = extrai(no); // 'no' tem no máximo um filho
    delete no;    
    if (!pai) return std::tuple{true, filho};
    return std::tuple{true, raiz};
  }
} // Exercicio: entenda cada caso e cada tipo de retorno!

:::

Implementação: Árvore Binária de Busca (ABB)

Finalmente, temos uma ABB completa:

::: -

export struct ABB {
  NoEnc5* raiz;    // raiz da árvore
  int N;
  void cria() { N = 0; raiz = 0; }
  void libera() { if(raiz) ::destroi_bin(raiz); raiz = 0; }
  NoEnc5* busca(char c) { return ::buscaABB(raiz, c);   }
  void insere(char c) {
    if(!raiz) raiz = new NoEnc5{.chave = c, .esq=0, .dir=0, .pai=0};  
    else ::insereABB(c, raiz);
    N++;
  }
  bool remove(char c) {
    auto [b, nraiz] = ::removeABB(c, raiz);  raiz = nraiz;   if(b) N--;
    return b;
  }
}; // fim

:::

Fim Árvores de Busca

Conclusão:

Árvores Binárias de Busca (ABB) são muito úteis para busca e organização da informação.

Porém, elas podem se degenerar! Para isso precisaremos estudar as Árvores Balanceadas.

Bibliografia Recomendada

Além da bibliografia do curso, recomendamos para esse tópico:

Szwarcfiter, J.L; Markenzon, L. Estruturas de Dados e seus Algoritmos. Rio de Janeiro, LTC, 1994. Bibliografia Adicional:
Cerqueira, R.; Celes, W.; Rangel, J.L. Introdução a estruturas de dados: com técnicas de programação em C. Editora, 2004.
Cormen, T.H.; Leiserson, C.E.; Rivest, R.L.; Stein Algoritmos: Teoria e Prática. Ed. Campus, 2002.
Cormen, T.H.; Leiserson, C.E.; Rivest, R.L.; Stein, C. Introduction to Algorithms, 3rd ed.. The MIT Press, 2009.
Preiss, B.R. Estruturas de Dados e Algoritmos Ed. Campus, 2000;
Knuth, D.E. The Art of Computer Programming - Vols I e III. 2nd Edition. Addison Wesley, 1973.
Graham, R.L., Knuth, D.E., Patashnik, O. Matemática Concreta. Segunda Edição, Rio de Janeiro, LTC, 1995.
Livro “The C++ Programming Language” de Bjarne Stroustrup
Dicas e normas C++: https://github.com/isocpp/CppCoreGuidelines

Agradecimentos

Pessoas

Em especial, agradeço aos colegas que elaboraram bons materiais, como o prof. Fabiano Oliveira (IME-UERJ), e o prof. Jayme Szwarcfiter cujos conceitos formam o cerne desses slides.

Estendo os agradecimentos aos demais colegas que colaboraram com a elaboração do material do curso de Pesquisa Operacional, que abriu caminho para verificação prática dessa tecnologia de slides.

Software

Esse material de curso só é possível graças aos inúmeros projetos de código-aberto que são necessários a ele, incluindo:

pandoc
LaTeX
GNU/Linux
git
markdown-preview-enhanced (github)
visual studio code
atom
revealjs
groomit-mpx (screen drawing tool)
xournal (screen drawing tool)
…

Empresas

Agradecimento especial a empresas que suportam projetos livres envolvidos nesse curso:

github
gitlab
microsoft
google
…

Reprodução do material

Esses slides foram escritos utilizando pandoc, segundo o tutorial ilectures:

https://igormcoelho.github.io/ilectures-pandoc/

Exceto expressamente mencionado (com as devidas ressalvas ao material cedido por colegas), a licença será Creative Commons.

Licença: CC-BY 4.0 2020

Igor Machado Coelho

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Exercício: Encontre o menor elemento uma ABB

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Exercício: Adicione novo elemento na árvore ou atualize seu valor

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